Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 2 - 2 i \\ 4 + 4 i \\ 4 - 1 i \end{array}]$

Schritt 1

The norm is the square root of the sum of squares of each element in the vector.

$\sqrt{{| 2 - 2 i |}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2

Vereinfache.

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Schritt 2.1

Wende die Formel $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ an, um den Betrag zu bestimmen.

$\sqrt{{\sqrt{2^{2} + {(- 2)}^{2}}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{4 + {(- 2)}^{2}}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.3

Potenziere $- 2$ mit $2$ .

$\sqrt{{\sqrt{4 + 4}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.4

Addiere $4$ und $4$ .

$\sqrt{{\sqrt{8}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.5

Schreibe $8$ als $2^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.5.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$\sqrt{{\sqrt{4 (2)}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.5.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$\sqrt{{\sqrt{2^{2} \cdot 2}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt{{(2 \sqrt{2})}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.7

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{2}$ an.

$\sqrt{2^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.8

Potenziere $2$ mit $2$ .

$\sqrt{4 {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.9

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.9.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{4 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.9.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.9.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.9.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.9.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{4 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.9.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{4 \cdot 2^{1} + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.9.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{4 \cdot 2 + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.10

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{8 + {| 4 + 4 i |}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.11

Wende die Formel $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ an, um den Betrag zu bestimmen.

$\sqrt{8 + {\sqrt{4^{2} + 4^{2}}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.12

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{8 + {\sqrt{16 + 4^{2}}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.13

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{8 + {\sqrt{16 + 16}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.14

Addiere $16$ und $16$ .

$\sqrt{8 + {\sqrt{32}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.15

Schreibe $32$ als $4^{2} \cdot 2$ um.

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Schritt 2.15.1

Faktorisiere $16$ aus $32$ heraus.

$\sqrt{8 + {\sqrt{16 (2)}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.15.2

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$\sqrt{8 + {\sqrt{4^{2} \cdot 2}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.16

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$\sqrt{8 + {(4 \sqrt{2})}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.17

Wende die Produktregel auf $4 \sqrt{2}$ an.

$\sqrt{8 + 4^{2} {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.18

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{8 + 16 {\sqrt{2}}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.19

Schreibe ${\sqrt{2}}^{2}$ als $2$ um.

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Schritt 2.19.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2}$ als $2^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{8 + 16 {(2^{\frac{1}{2}})}^{2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.19.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{8 + 16 \cdot 2^{\frac{1}{2} \cdot 2} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.19.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{8 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.19.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.19.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{8 + 16 \cdot 2^{\frac{2}{2}} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.19.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{8 + 16 \cdot 2^{1} + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.19.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{8 + 16 \cdot 2 + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.20

Mutltipliziere $16$ mit $2$ .

$\sqrt{8 + 32 + {| 4 - 1 i |}^{2}}$

Schritt 2.21

Schreibe $- 1 i$ als $- i$ um.

$\sqrt{8 + 32 + {| 4 - i |}^{2}}$

Schritt 2.22

Wende die Formel $| a + b i | = \sqrt{a^{2} + b^{2}}$ an, um den Betrag zu bestimmen.

$\sqrt{8 + 32 + {\sqrt{4^{2} + {(- 1)}^{2}}}^{2}}$

Schritt 2.23

Potenziere $4$ mit $2$ .

$\sqrt{8 + 32 + {\sqrt{16 + {(- 1)}^{2}}}^{2}}$

Schritt 2.24

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$\sqrt{8 + 32 + {\sqrt{16 + 1}}^{2}}$

Schritt 2.25

Addiere $16$ und $1$ .

$\sqrt{8 + 32 + {\sqrt{17}}^{2}}$

Schritt 2.26

Schreibe ${\sqrt{17}}^{2}$ als $17$ um.

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Schritt 2.26.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{17}$ als $17^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$\sqrt{8 + 32 + {(17^{\frac{1}{2}})}^{2}}$

Schritt 2.26.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$\sqrt{8 + 32 + 17^{\frac{1}{2} \cdot 2}}$

Schritt 2.26.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$\sqrt{8 + 32 + 17^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.26.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 2.26.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\sqrt{8 + 32 + 17^{\frac{2}{2}}}$

Schritt 2.26.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\sqrt{8 + 32 + 17^{1}}$

Schritt 2.26.5

Berechne den Exponenten.

$\sqrt{8 + 32 + 17}$

Schritt 2.27

Addiere $8$ und $32$ .

$\sqrt{40 + 17}$

Schritt 2.28

Addiere $40$ und $17$ .

$\sqrt{57}$

Schritt 3

Das Ergebnis kann in mehreren Formen wiedergegeben werden.

Exakte Form:

$\sqrt{57}$

Dezimalform:

$7.54983443 \dots$